Hola Jolual,
Tendríamos que saber que tipo de servicio tiene contratado, pero en el caso de un plan de alojamiento web la copia de sitio web es para poder migrar su site a un nuevo plan de alojamiento, disponer de una copia en local (la cual podría subir a un nuevo alojamiento), etc...
En el servicio de Hosting Web que le comentamos, debe tener en cuenta que están pensados para disponer de un solo dominio, y este no se puede modificar. Lo que podría hacer es o bien migrar el contenido a un nuevo alojamiento, o como opción podría apuntar el nuevo dominio como "Alias de dominio" a su alojamiento.
Puede encontrar los pasos para realizar esta última configuración en el siguiente enlace:
https://siliconhosting.com/kb/questions/45
Un saludo.